Question

(本题满分10分)

抛物线(p>0)的准线方程为，该抛物线上的点到其准线的距离与到定点N的距离都相等，以N为圆心的圆与直线 都相切。

（Ⅰ）求圆N的方程；

（Ⅱ）是否存在直线同时满足下列两个条件，若存在，求出的方程；若不存在请说明理由.

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

Answer 1

(本题满分10分)

（Ⅰ）因为抛物线的准线的方程为，

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，则定点N的坐标为．

所以 圆N的方程．                              3分

（Ⅱ）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，

设的方程为，,

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，    5分

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，

即，解得，

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！

当时，的方程为 ，                          7分

由，解得点A坐标为，

由，解得点B坐标为，

显然AB中点不是，矛盾！  所以不存在满足条件的直线．        10分

方法2：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为， 

又点B 在直线上，所以，    

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，                                      7分

圆心N到直线的距离，  

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！

所以不存在满足条件的直线．                                     10分