Question

已知下列两个命题：
p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；
即a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

恒成立；
由于

x

+

1

x

的最小值为2，
故P为真命题时，a≤2
q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．
表示以a为底的对数函数为增函数，且x²-ax+1＞0恒成立
即

a＞1 a2-4＜0

，解得1＜a＜2
故Q为真命题时，1＜a＜2
∵两个命题中有且只有一个是真命题，
当P真Q假时，a=2或a≤1
当P假Q真时，这样的a值不存在
故实数a的取值范围是a=2或a≤1
故答案为：a=2或a≤1