Question

已知下列两个命题：p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=loga(x2-ax+1)（a＞0，a≠1）有最小值；若两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用两个命题中有且只有一个是真命题，确定实数a的取值范围．

解答：解：若?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，
则a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

，
∵

x

+

1

x

≥2，
∴a≤2，即p：a≤2．
∵x²-ax+1有最小值，
∴要使y=loga(x2-ax+1)（a＞0，a≠1）有最小值，
则a＞1，即q：a＞1．
若两个命题中有且只有一个是真命题，
则p真q假，或p假q真，
∴若p真q假，则

a≤2 a≤1

，解得a≤1．
∵a＞0，a≠1，∴0＜a＜1．
若p假q真，则

a＞2 a＞1

，解得a＞2．
综上：0＜a＜1或a＞2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．