题目内容

已知F₁、F₂分别是椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右焦点，M、N分别是直线 $数学公式$ （m是大于零的常数）与x轴、y轴的交点，线段MN的中点P在椭圆C上．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）试探究直线l与椭圆C是否还存在异于点P的其它公共点？请说明理由；
（Ⅲ）当a=2时，试求△PF₁F₂面积的最大值，并求△PF₁F₂面积取得最大值时椭圆C的方程．

解：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），
故MN的中点为 $\text{[math]}$ ，
又点P在椭圆C上，∴ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ，
与方程C联立得： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
由于 $\text{[math]}$ ，
∴此方程有两个相等实根 $\text{[math]}$ ，
故直线l与椭圆C相切，切点为 $\text{[math]}$ ，
除此之外，不存在其他公共点

（解法二）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ，与方程C联立得： $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，
又 $\text{[math]}$ ，∴此方程有两个相等实根，即 $\text{[math]}$ ，
∴直线l与椭圆C的公共点是唯一的点 $\text{[math]}$ ，
即除点P以外，不存在其他公共点

（Ⅲ）当a=2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ 时，等式成立，故 $\text{[math]}$
此时，椭圆C的方程为： $\text{[math]}$

分析：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），从而可得MN的中点为P的坐标，利用点P在椭圆C上，即可求常数m的值；
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ，与方程C联立消元，由此可得直线l与椭圆C相切时切点的坐标；
（解法二）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ，与方程C联立，可得 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，由此可得直线l与椭圆C的公共点是唯一的点P；
（Ⅲ）当a=2时，表示△PF₁F₂面积，利用基本不等式，可求△PF₁F₂面积的最大值，从而可得椭圆C的方程．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，联立直线与椭圆方程是关键．