Question

三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且AB=AC=20

2

km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OA=x（km），或OB=x（km），或点O到BC的距离为x（km），或∠CBO=x（rad）．请你选择用其中的某个x，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设OB=x（km），在Rt△ODB中，可求得OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，从而可得y是x的函数表达式；若设OA=x（km），可求得y=x+

(20-x)2+202

（0≤x≤20）；若设∠CBO=x（rad），可求得y=20+

20(2-sinx)

cosx

（0≤x≤

π

4

）；
（Ⅱ）由y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），可求得y′=2-

x

x2-202

，利用导数法求得在[20，20

2

]上的极小值即可．

解答：解：（Ⅰ）设OB=x（km），延长AO交于BC于点D．
∵BD=DC=

1

2

BC=20，OB=OC，
∴OA=AD-0D=

AC2-DC2

-OD=20-OD，
在Rt△ODB中，OD=

OB2-DB2

=

x2-202

，
∴y=OA+OB+OC=2x+20-

x2-202

，
又20≤x≤20

2

，
∴y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

）…（6分）
（若设OA=x（km），则y=x+2

(20-x)2+202

（0≤x≤20）；
若设∠CBO=x（rad），
则y=20-20tanx+2×

20

cosx

=20+

20(2-sinx)

cosx

（0≤x≤

π

4

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），来确定符合要求的货运中转站的位置．
∵y=2x+20-

x2-202

（20≤x≤20

2

），
∴y′=2-

x

x2-202

，令y'=0得x=

40 3

3

，或x=-

40 3

3

（舍去）．
当x∈[20，

40 3

3

)时，y'＜0；当x∈(

40 3

3

，20

2

]时，y'＞0，
∴函数y在x=

40 3

3

时，取得极小值，这个极小值就是函数y在[20，20

2

]上的最小值．…（11分）
因此，当货运中转站建在三角形区内且到B、C两点的距离均为

40 3

3

km时，修建的道路的总长度最短．…（13分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，着重考查求函数解析式的方法，求得函数解析式是关键，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．