题目内容

已知函数f（x）=x2+2x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=-4时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）上无极值点，求a的取值范围．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，可求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）上无极值点，等价于f′(x)=2x+2+
a
x
≥0对x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+
a
x
≤0对x∈（0，1）恒成立，分离参数，可求a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意，f′(x)=2x+2-
4
x
，由函数的定义域为（0，+∞），
令f′（x）＞0，可得x＞1；f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函数在x=1处取得极小值f（1）=3；
（Ⅱ）由题意，f′(x)=2x+2+
a
x
≥0对x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+
a
x
≤0对x∈（0，1）恒成立，
即a≥-2x（x+1）x∈（0，1）或a≤-2x（x+1）x∈（0，1）
所以a≥0或a≤4．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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