Question

【题目】椭圆的右顶点为，左焦点为，离心率为，已知也是抛物线的焦点， 到准线的距离为

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）过原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，交于另一点.

①证明：三点共线

②求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）证明见详解（3）

【解析】

（1）分析条件可知，，，再结合椭圆关系式即可求解，又，也可求解

（2）可采用点差法，设，，则，设直线，利用（利用点差法证明）可求，再表示出，只需证明即可

（3）利用，代入已得数据，并对换元，利用“对勾”函数可得最值

（1）由题可知：，，又椭圆有，联立求解可得，故椭圆的标准方程为：；

又，故抛物线的方程为：；

（2）

①设，，则，，，，，，

设，则，设直线，

则，，

在椭圆上，，联立求解变形可得，

即，则，

，，故三点共线；

②

设直线的方程为：，

与联立消去，

得，

，

，

又

令，则，

利用“对勾”函数在，的单调性可知，

时取等号），

（此时，

故面积的最大值为．