Question

选修4-5：不等式选讲已知x，y，z为实数，且，
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）设|2t-1|=x²+y²+z²，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用题中条件：“”构造柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²这个条件进行计算即可．
（II）由（Ⅰ）得，解此绝对值不等式即可得到实数t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²
得，所以，
当且仅当时取等号，即x²+y²+z²的最小值为…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则，解得或，
即实数t的取值范围是…（7分）
点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+3•z）²这个不等关系，还考查了绝对值不等式的解法．