Question

设函数f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

（I）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则f(x)∈[

1

2

，2]；…（6分）
（II）由f(B)=1，得sin(B-

π

6

)=0，故B=

π

6

…（7分）
解法一：由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，
得a²-3a+2=0，解得a=1或2；…（12分）
解法二：由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

，A=

π

2

，从而a=

b2+c2

=2，…（9分）
当C=

2π

3

时，A=

π

6

，又B=

π

6

，从而a=b=1，…（11分）
故a的值为1或2．   …（12分）