Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A₁，B₁两点，Q是A₁B₁的中点，连AQ、BQ、FA₁，有下列命题：
①△AA₁F的垂心有可能在此抛物线；
②△AQB的外心有可能在此抛物线上；
③AQ、FA₁、x轴相交于一点；
④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上
上述命题正确的有______（写出所有真命题的序号）

Answer 1

取特殊位置AB∥x轴①则 A1(-p，-

p

2

)，F(0，

p

2

)，B1(p，-

p

2

)，故有AF⊥AA₁，所以点A是△AA₁F的垂心；
②A (-p，

p

2

)，Q(0，-

p

2

)，B(p，

p

2

)得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；
③由于此时AFQA₁是矩形，故正确；
④FQ=BB₁=AA₁=p，显然FQ²=BB₁•AA₁
故答案为：①③④．