Question

（本小题满分12分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（1）求证：为关于的方程的两根；
（2）设，求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意可知：
∵  ，  ……………………………2分
∴切线的方程为：，
又切线过点，有，
即， ①
同理，由切线也过点，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的两根……………………………4分
（2）由（ * ）知．
，
∴．……………………………8分
（3）易知在区间上为增函数，
，
则．……………………10分
即，即，
所以，由于为正整数，所以．
又当时，存在，满足条件，
所以的最大值为．     …………12分

略