Question

（本题满分12分）如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点

  （Ⅰ）求证：AC⊥BC₁

  （Ⅱ）求二面角的平面角的正切值

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                        …………………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC₁ ，又平面BCC₁         ……………………………………4分

∴ AC⊥BC₁                             ……………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接     

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴  又且 

∴平面，平面    

∴  又

∴是二面角的平面角              …………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴               ……………………………………11分

∴二面角的正切值              ………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 ………6分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量               ，                       …………………7分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小   ……8分

则由   令，则，

∴                                          …………10分

，则   　 ……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为              …………………… 12分

 

【解析】略