Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均相等，E，F分别是棱A₁B₁，A₁C₁的中点，截面EBCF将三棱柱截成几何体Ⅰ和几何体Ⅱ两个几何体．
①求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的表面积之比；
②求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的体积之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知几何体Ⅰ是一个三棱台，侧面积等于5个侧面面积的和，几何体Ⅱ也有5个面，侧面积等于5个侧面面积的和，将这两个几何体的表面积相除，可得结果．
（2） 几何体Ⅰ是一个三棱台，其体积由面积公式可求得；几何体Ⅱ的体积用整个三棱柱的体积减去几何体Ⅰ的体积可得，计算这两个几何体的体积之比．
解答：解：（1）设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为1，由三角形的中位线的性质得A₁EF的面积
为×（）=，BE==，
几何体Ⅰ的全面积为 +2×（）+×1×1×+=．
几何体Ⅱ的表面积为 1×1+2×（××1）+（×1×1×）+=，
 故求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的表面积之比为：．
（2） 几何体Ⅰ是一个三棱台，其体积为 ×（++）×1=，
几何体Ⅱ的体积为×1-=，
故几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的体积之比为：．
点评：本题考查棱柱、棱台的表面积、体积的计算方法，以及用间接方法求出不规则几何体的体积．