Question

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1=

3an

2an+1

，知

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，故

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，由此能够求出{a_n}的通项公式．（Ⅱ）由an=

3n

3 n+2

＞0，知

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

-x)=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an，由此能够证明对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．．

解答：（Ⅰ）解：∵an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
又

1

an

-1=

2

3

，
∴(

1

an

-1)是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列． 
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3 n-1

=

2

3 n

，
∴an=

3n

3n+2

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知an=

3n

3 n+2

＞0，

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

-x)
=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3 n

+1-1-x)
=

1

1+x

-

1

(1+x)2

[

1

an

-(1+x)]
=-

1

an

•

1

(1+x)2

+

2

1+x

=-

1

an

(

1

1+x

-an)2+an
≤a_n，
∴对任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，具体涉及到数列的通项公式的求法和数列与不等式的应用．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．