Question

已知椭圆C：上存在关于直线l：y=2x+m对称的两点，试求m的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(设对称直线，用韦达定理)设与直线l垂直且与椭圆C相交的直线l1的方程为y=n，代入椭圆C的方程，并整理得： 　　25x2-36nx+36n2-144=0 　　当D =(36n)2-4×25×(36n2-144)＞0 　　即-＜n＜时，直线l1与椭圆C交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点．设线段PQ中点为M(x，y) 　　由韦达定理知： 　　 　　 　　　　　 　　　　　 　　所以M点的坐标为(，) 　　又∵　点M在直线l上 　　∴　 　　∴　m 　　故当，即-2＜m＜2时，C上有不同的两点关于l对称 　　解法二：(巧设对称点，利用平方差)设椭圆C上关于l对称的两点为P(x1，y1)、Q(x2，y2)，PQ中点为M(x0，y0)． 　　则 　　①-②得： 　　4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0　　　 ⑥ 　　将③、④代入⑥得： 　　8x0(x1-x2)+18y0(y1-y2)=0 　　即4x0(x1-x2)+9y0(y1-y2)=0 　　因为PQ⊥l，所以kPQ= 　　若x1=x2，则直线PQ的斜率不存在，与kPQ=矛盾． 　　故x1≠x2，则kPQ= 　　于是 　　解得9y0=8x0　　　　　　　　　　　　⑦ 　　由⑥、⑦得点M的坐标为(，) 　　因为点M在椭圆内 　　所以＜1 解得m的取值范围为-2＜m＜2． 　　解法三：(设对称点、对称直线综合求解)设与直线l垂直且与椭圆C相交的直线l1的方程为y=x+n，代入椭圆C的方程，整理得： 　　25x2-36nx+36n2-144=0 　　设l1与椭圆C相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)，PQ中点为M(x，y)． 　　则x1+x2= 　　y1+y2=-(x1+x2)+2n= 　　所以PQ的中点M(x，y)的轨迹的参数方程为： 　　消去参数n，得y= 　　由 　　求得直线y=与椭圆C：的交点为E、F． 　　所以点M的轨迹方程为 　　由 　　解得，代入，得． 　　∴　M点的坐标为 　　因为点M在椭圆内 　　所以 　　解得m的取值范围是-2＜m＜2．