题目内容
【题目】已知椭圆C： 
=1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ 
， 
）．且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD，记由A，B，C，D四点构成的四边形的面积为S，求S的最大值和最小值．
【答案】
（1）解：①当a＞b时，∵椭圆C： 
=1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ 
， 
）．且离心率为 ．
∴由题意 
+ 
=1，且e= 
= ，
解得a2=2，b2=1，
∴椭圆方程为 
=1；
②当a＜b时，∵椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ．
∴由题意 + =1，且e= 
= ，
解得 
，b2= 
，
∴椭圆方程为 
=1．
∴椭圆C的方程为 =1或 =1．
（2）解：∵过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD，∴取椭圆C的方程为 =1，
①当两条弦中有一条的斜率不存在时，则另一条的斜率为0，
∴由A，B，C，D四点构成的四边形的面积：
S= 
|AB||AC|= 
=2．
②当两弦的斜率均存在时，可知均不为0，设A（x1，y），B（x2，y2），
令直线AB的方程为：y=k（x+1），则直线CD的方程为：y=﹣ 
（x+1），
由 
，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
∴|AB|= 
= 
，
同理，|CD|= 
= 
= 
= 
=2﹣ 
，
∵2（k+ ）2+1≥2（2 
）2+1≥2（2 ）2+1=9，
当且仅当k=±1时取等号，
∴ 
．
综上， 
．
∴S的最大值为2，最小值为 
【解析】（1）根据a＞b和a＜b两种情况，由椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）取椭圆C的方程为 =1，当两条弦中有一条的斜率不存在时，则另一条的斜率为0，此时由A，B，C，D四点构成的四边形的面积S= |AB||AC|=2；当两弦的斜率均存在时，令直线AB的方程为：y=k（x+1），则直线CD的方程为：y=﹣ （x+1），利用韦达定理、弦长公式，能求出S的最大值和最小值．
