Question

【题目】已知函数（其中， 为常数， 为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设曲线在处的切线为，当时，求直线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的递增区间是， ，递减区间是；

（2）截距的取值范围是：

【解析】试题分析：（1）先求导数，根据导函数符号是否变号进行分类讨论，当时，导函数非负，函数单调递增；当时，导函数先正后负再正（2）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求直线方程，解出在轴上截距，最后利用导数研究截距取值范围

试题解析：（1），

当时， 恒成立，函数的递增区间是；

当时， 或.

函数的递增区间是， ，递减区间是；

（2）， ，

所以直线的方程为： .

令得到：截距，记，

，记

（∵），所以递减，

∴，∴，即在区间上单调递减，

∴，即截距的取值范围是： .