Question

已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数上是减函数，求实数的最小值；

（III）若，使成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） （III）

【解析】

试题分析：由已知函数的定义域均为,且.

（Ⅰ）函数,

当时,.所以函数的单调增区间是.       3分

（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，，所以，故

所以的最小值为.

（Ⅲ）“若，使成立”等价于

“当时，有”，

有（Ⅱ），当时，有，，

问题等价于：“当时，有”

当时，由（Ⅱ），在上为减函数.

则，故.

当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．