Question

(本题满分14分)

设函数

⑴当且函数在其定义域上为增函数时，求的取值范围；

⑵若函数在处取得极值，试用表示；

⑶在⑵的条件下，讨论函数的单调性。

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2） ；

（3）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用。

⑴因为当且函数在其定义域上为增函数时，则可知导函数恒大于等于零，得到的取值范围；

⑵若函数在处取得极值，则求解导数可知导函数在该点的到数值为零。

⑶在⑵的条件下，，然后对于参数a分情况得到函数的单调性。

解：（1）当时，函数，其定义域为。

。函数是增函数，

当时，恒成立。   ……………………………………2分

即当时，恒成立。

当时，，且当时取等号。

的取值范围为。………………………………………………………………4分

（2）,且函数在处取得极值，

此时 ………………………………………………6分

当，即时，恒成立，此时不是极值点。

  ………………………………………………………………………8分

（3）由得

①当时，当时，

当时，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。……………………10分

②当时，当

当

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

③当时，当

当                

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

……………………………………………………13分

综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

………………………………………………………………14分