Question

（2013•温州二模）已知函数f（x）=

1

3

ax3-

1

2

x2-

1

6

，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若f（x）≥lnx恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（I）问题等价于f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，分离a易得答案；
（II）问题等价于a≥

3x2+1+6lnx

2x3

恒成立，构造函数g（x）=

3x2+1+6lnx

2x3

，通过求导数可得g（x）_max=g（1）=2，从而可得答案．

解答：解：（I）由条件得f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，
即a≤

1

x

在x＞0上恒成立，∴a≤0    …（5分）
（II）问题等价于a≥

3x2+1+6lnx

2x3

恒成立，
设g（x）=

3x2+1+6lnx

2x3

，
则：g′（x）=

(6x+ 6 x )•2x3-(3x2+1+6lnx)

4x6

=

-3(x2-1+6lnx)

2x4

…（10分）
设h（x）=x²-1+6lnx（x＞0），则h（x）是增函数，且h（1）=0
∴由g′（x）＜0，可得h（x）＞0，即x＞1，由g′（x）＞0，可得h（x）＜0，即0＜x＜1，
∴g（x）_max=g（1）=2，
故a≥2，因此a_min=2…（15分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的恒成立问题，属中档题．