Question

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求λ的最大值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的个数．

Answer 1

（I）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值为-1．
（II）由题意[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t²+λt+1
∴（t+1）λ+t²+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
则

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，
∴

t＜-1 t2-t+sin1＞0

，而t²-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1
又t=-1时-λ-sinl＜t²+λt+1
故t≤-1（9分）

（Ⅲ）由

lnx

f(x)

=

lnx

x

=x2-2ex+m．
令f₁（x）=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m，
∵f₁′（x）=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，f₁′（x）≥0，
∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，f₁′（x）≤0，
∴f₁（x）在[e，+∞）为减函数；
当x=e时，[f₁（x）]_max=f₁（e）=

1

e

，
而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴当m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无解；
当m-e²=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有一个根；
当m-e²＜

1

e

时，m＜e2+

1

e

时，方程有两个根．（14分）