Question

【题目】在△ABC中，已知A= ，cosB= ． （Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2 ，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cosB= 且B∈（0，π）， ∴sinB= = ，
则cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（ ﹣B）=cos cosB+sin sinB=﹣ ﹣ + ﹣ =﹣ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC= = = ，
由正弦定理得 = ，即 = ，解得AB=6，
在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BCADcosB=（2 ）2+32﹣2×3×2 × =5，
所以CD=
【解析】（I）由cosB的值及B的范围求出sinB的值，所求式子利用诱导公式及内角和定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根据BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的长．
【考点精析】利用两角和与差的余弦公式和正弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的余弦公式：；正弦定理:．