题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数 $数学公式$ 的极小值；
（3）若f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

（1）解：对函数求导可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由题设知： $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ （4分）
（2）解：由（1）知 $\text{[math]}$ ，g′（x）=mx（x- $\text{[math]}$ ），
当m＞0时，g（x）在（-∞，0），（ $\text{[math]}$ ，+∞）上递增，在（0， $\text{[math]}$ ）上递减，
所以g（x）的极小值为g（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ m；
当m＜0时，g（x）在（-∞，0），（ $\text{[math]}$ ，+∞）上递减，在（0， $\text{[math]}$ ）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0；（8分）
（3）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴ $\text{[math]}$ （11分）
由（1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又 $\text{[math]}$ ，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）（14分）
分析：（1）曲线在P（1，2）处的切线与y=2x+1平行等价于函数在该点的导数为2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ，g′（x）=mx（x- $\text{[math]}$ ），分类讨论：分m＞0时，m＜0时两种情况讨论，g（x）的单调性，进而可求g（x）的极小值
（3）由题意可得f′（x）=0即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根，根据二次方程的实根分布可求
点评：本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件，考查学生的转化与化归思想．