Question

(2007全国Ⅱ，22)已知函数，．

(1)求曲线y=f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

(2)设a＞0，如果过点(a，b)作曲线y=f(x)的三条切线，

证明：－a＜b＜f(a)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)求函数f(x)的导数． 曲线y=f(x)，在点M(t，f(t))处的切线方程为， 即． (2)如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使． 于是，若过点(a，b)可作曲线y=f(x)的三条切线， 则方程．有三个相异的实数根． 记，则 当t变化时，g(t)，变化情况如下表： 由g(t)的单调性，当极大值a＋b＜0或极小值b－f(a)＞0时，方程g(t)=0最多有一个实数根； 当a＋b=0时，解方程g(t)=0，得， 即方程g(t)=0只有两个相异的实数根；当b－f(a)=0时，解方程g(t)=0，得，t=a，即方程g(t)=0，只有两个相异的实数根． 综上，如果过(a，b)可作曲线y=f(x)三条切线，即g(t)=0有三个相异的实数根，则 即－a＜b＜f(a)．