Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则圆x²+y²=1上一点与直线2x+y-2

5

=0上一点的“折线距离”的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据新定义直接求出d（A，O）；求出过圆上的点与直线 2x+y-2

5

=0的点坐标的“折线距离”的表达式，然后求出最小值．

解答：解：设直线 2x+y-2

5

=0上的任意一点坐标（x，y），
圆上任意一点的坐标为； （cosθ，sinθ）
由题意可知：d=|x-cosθ|+|2

5

-2x-sinθ|
分类讨论：
a）x≥

5

-

1

2

sinθ
可知x＞1≥cosθ
d=x-cosθ-2

5

+2x+sinθ=3x-cosθ-2

5

+sinθ≥3（

5

-

1

2

sinθ）-cosθ-2

5

+sinθ
=

5

-

1

2

sinθ-cosθ=

5

-

5

2

sin（θ+α）≥

5

2

b）

5

-

1

2

sinθ＞x＞cosθ解同上
C）x＜cosθ解得，d≥

5

．
∴圆x²+y²=1上一点与直线2x+y-2

5

=0上一点的“折线距离”的最小值是

5

-1．
故答案为：

5

2

．

点评：本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．