题目内容

已知F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ （0＜b＜5）的两个焦点，P是椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60⁰，△F₁PF₂的面积为 $数学公式$ ，则此椭圆的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：由椭圆的标准方程求得a，由△F₁PF₂的面积为 $\text{[math]}$ ，求得|PF₁|•|PF₂|的值，△F₁PF₂中，由余弦定理、
椭圆的定义可得b²的值，进而求得c，由e= $\text{[math]}$ 求出离心率e 的值．
解答：∵F₁，F₂是椭圆 $\text{[math]}$ （0＜b＜5）的两个焦点，∴a=5，c= $\text{[math]}$ ．
∵△F₁PF₂的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |PF₁|•|PF₂|sin60°，∴|PF₁|•|PF₂|=12．
△F₁PF₂中，由余弦定理可得 4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°，
即 4（25-b²）=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|=4a²-36=64，
∴b²=9，c=4，故离心率为 e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出b²的值是解题的关键．