题目内容

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据．
（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数与方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
（Ⅱ）若将频率为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

解：（Ⅰ）因为由题意可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =85，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =85，
所以s_甲²=35.5，s_乙²=41，
∴s_甲²＜s_乙²，
∴乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适． …7分
（II）记“乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则P（A）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
随机变量ξ 的可能取值为0、1、2、3，且ξ～B（3， $\text{[math]}$ ）．
∴P（ξ=k）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^k（ $\text{[math]}$ ）^3-k，k=0，1，2，3．
所以变量ξ 的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …12分
分析：（I）根据有关公式可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，s_乙²＜s_甲²，所以乙的成绩较稳定，因此派乙参赛比较合适．
（II）记“乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P（A）= $\text{[math]}$ ，随机变量ξ 的可能取值为0、1、2、3，由题意可得ξ服从二项分布，即ξ～B（3， $\text{[math]}$ ），进而根据公式即可得到分布列与期望．
点评：本题主要考查茎叶图、标准差与等可能事件的概率，以及离散型随机变量的分布列与期望．