Question

已知平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与其到定直线l：x=4的距离之比是，设动点P的轨迹为M，轨迹M与x轴的负半轴交于点A，过点F的直线交轨迹M于B、C两点．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形；
（3）△ABC的面积是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得=，则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，由此能求出轨迹M的方程．
（2）由轨迹M与x轴的负半轴交于点A（-2，0）．知直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，设直线BC的方程为x=my+1，由，得（3m²+4）y²+6my-9=0．再由韦达定理进行求解．
（3）设△ABC的面积存在最值．由点A到直线BC的距离d=，|BC|==12=．故△ABC的面积S=|BC|•d=．由此能够导出△ABC的面积S∈（0，]．
解答：解：（1）由题意得=，
则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴+=1，即是轨迹M的方程．
（2）由（1）易知轨迹M与x轴的负半轴交于点A（-2，0）．
直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，故可设直线BC的方程为x=my+1，由，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则
y₁+y₂=-
如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，必有|AB|=|AC|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6][m（y₁-y₂）]+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴（m²+1）（y₁+y₂）+6m=0，
∴（m²+1）（-）+6m=0，
∴m=0或=1（无解），即如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则m=0，此时直线BC垂直于x轴．
反之，当直线BC垂直于x轴时，直线BC的方程是x=1，
易知B（1，-），C（1，）或B（1，），C（1，-），
此时|BC|=3，|AB|=|AC|=，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
故直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
综上可得：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
（3）存在最大值，不存在最小值．
设△ABC的面积存在最值．由（2）知点A到直线BC的距离d=；
|BC|=
=
=
=12=．
故△ABC的面积S=|BC|•d=．
令t=，则t≥1且m²=t²-1，则==，
令g（t）=3t+，则g′（t）=3-，当t≥1时g′（t）恒大于0，
故函数g（t）=3t+在[1，+∞）上单调递增，故函数g（t）的值域为[4，+∞），故∈（0，]，
所以△ABC的面积S∈（0，]，即△ABC的面积存在最大值，不存在最小值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养解题能力，提高解题技巧．