Question

△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（　　）

A．1

B． 1 3

C． 2 2 3

D．1或 1 3

Answer 1

从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，根据勾股定理，AE=

2 6

3

h，BE=

6

3

h，AB=AE+BE=

6

h，
根据勾股定理逆定理，AB²=BC²+AC²，
（

6

h）²=（

2

h）²+（2h）²，
∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，
根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（

6

3

h）²=（2h）²+（

2

h）²-2×2h×

2

hcosC，
cosC=

2 2

3

，
sinC=

1-cos2C

=

1

3

，
故角ACB的正弦值是1或

1

3

．
故选D．