Question

在△ABC的AB边在平面α内，点C在平面α外，AC和BC与平面α所成的角分别为30°和45°且平面ABC与平面α成60⁰的锐二面角，则sin∠ACB=（　　）

• A．1
• B．

  2 3

  3

• C．

  3

• D．1或

  1

  3

Answer 1

分析：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，由勾股定理求出sinC=1；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，由余弦定理，求出sinC．

解答：解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，
根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=

2

h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，
∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=

2 3 h

3

，
根据勾股定理，AE=

2 6

3

h，BE=

6

3

h，AB=AE+BE=

6

h，
∵（

6

h）²=（

2

h）²+（2h）²，即AB²=BC²+AC²，
∴∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=

6 h

3

，
根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（

6

3

h）²=（2h）²+（

2

h）²-2×2h×

2

hcosC，
cosC=

2 2

3

，
sinC=

1-cos2C

=

1

3

，
故角ACB的正弦值是1或

1

3

．
故选D．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理和余弦定理的灵活运用．