Question

【题目】已知集合，对于，，定义与的差为；与之间的距离为.

（1）若，试写出所有可能的，；

（2），证明：；

（3），三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）一定有偶数，理由见解析

【解析】

（1）由题意结合新概念可直接得解；

（2）先证明、时，均有，由新概念运算即可得证；

（3）设，，，由（2）可得，，，设是使成立的的个数，即可得，即可得解.

（1）由题意可得，所有满足要求的，为：

，；

，；

，；

，.

（2）证明：令，，，

对，

当时，有；

当时，有.

所以

.

（3），，，，，三个数中一定有偶数.

理由如下：

设，，，

，，，

记，由（2）可知: ，

，，

所以中1的个数为，中1的个数为.

设是使成立的的个数，则.

由此可知，，，三个数不可能都是奇数，

即，，三个数中一定有偶数.