Question

【题目】如图，矩形垂直于正方形垂直于平面．且．

（1）证明：面面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，需在平面内找一条直线与平面垂直．由已知得和为等腰三角形，设中点为，连结，设，则可求出，，所以，即．因为是等腰底边中点，所以，根据判定定理即证；（2）建立空间直角坐标系，设，可得到各点坐标，求出平面和平面的法向量，求出法向量夹角的余弦值，根据图形判断即可．

试题解析：（1）如图，设中点为，连结．

不妨设，

因为面，故，

于是在中可求得；

在直角梯形中可求得；

在中可求得；

从而在等腰，等腰中分别求得，

此时在中有，

所以，

因为是等腰底边中点，所以，

所以平面，

因此面面

（2）如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则由题设条件可知：

，

设面的法向量为，

由得：，可取，

因为平面，故取平面的法向量为，

因此．

所以二面角的余弦值为