题目内容

若函数f（x）=
x(x+1)(2x-a)
为奇函数，则a=
2
2
．
分析：根据题目给出的函数为奇函数，运用奇函数的概念，由f（-x）+f（x）=0列式可求得a的值．
解答：解：因为函数f（x）=
x
(x+1)(2x-a)
为奇函数，
所以f(-x)+f(x)=
-x
(-x+1)(-2x-a)
+
x
(x+1)(2x-a)

=
x
(2x+a)(1-x)
+
x
(x+1)(2x-a)

=
2x3-ax2+2x2-ax+2x2-2x3+ax-ax2
(4x2-a2)(1-x2)

=
(4-2a)x2
(4x2-a2)(1-x2)
=0恒成立，
即（4-2a）x2=0恒成立，
所以4-2a=0，即a=2．
故答案为2．
点评：本题考查了函数奇偶性的判断，若一个函数为定义域上的奇函数，则一定有f（-x）+f（x）=0恒成立，继而求得使等式恒成立的变量的取值范围．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
若函数f（x）（x∈R）为奇函数，且存在反函数f-1（x）（与f（x）不同），F(x)=
2f(x)-2f-1(x)
2f(x)+2f-1(x)
，则下列关于函数F（x）的奇偶性的说法中正确的是（　　）
A、F（x）是奇函数非偶函数
B、F（x）是偶函数非奇函数
C、F（x）既是奇函数又是偶函数
D、F（x）既非奇函数又非偶函数
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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