Question

20．已知函数f（x）=x³+ax²+1-a（a∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，即可讨论f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，求出函数的极值，满足极大值大于0且极小值小于即可求a的取值范围．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=3x²+2ax=3x（x+$\frac{2a}{3}$），
若a=0，则f′（x）=3x²≥0恒成立，即此时函数单调递增．
若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞0或x＜-$\frac{2a}{3}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，此时函数单调递减．
若a＜0，则由f′（x）＞0得x＞-$\frac{2a}{3}$或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，此时函数单调递减．
（2）由（1）知，若a＞0，则由f′（x）＞0得x＞0或x＜-$\frac{2a}{3}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，此时函数单调递减．
即当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=1-a，
当x=-$\frac{2a}{3}$时，函数f（x）取得极大值f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$+1-a，
若函数f（x）有三个不同的零点时，则$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4{a}^{3}}{27}+1-a＞0}\\{f（0）=1-a＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-3且a≠\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得a＞1且a≠$\frac{3}{2}$，
若a＜0，则由f′（x）＞0得x＞-$\frac{2a}{3}$或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，此时函数单调递减．
则当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1-a，
当x=-$\frac{2a}{3}$时，函数f（x）取得极小值f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$+1-a，
若函数f（x）有三个不同的零点时，则$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4{a}^{3}}{27}+1-a＜0}\\{f（0）=1-a＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-3}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得a＜-3，
综上a＞1且a≠$\frac{3}{2}$或a＜-3．

点评 本题主要考查导数的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．