Question

10．已知等差数列{a_n}满足：a₅=9，a₂+a₆=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+qⁿ（q＞0），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由 等差数列的性质列出方程组，解得a₁=1，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${b_n}=2n-1+{q^n}$，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）∵等差数列{a_n}满足：a₅=9，a₂+a₆=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=9}\\{2{a}_{1}+6d=14}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．…（4分）
（2）∵b_n=a_n+qⁿ（q＞0），a_n=2n-1，
∴${b_n}=2n-1+{q^n}$，
当q=1时，b_n=2n，则S_n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（1+n）}{2}$=n（n+1）．…（6分）
当q＞0，q≠1时，
则S_n=2（1+2+3+…+n）-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$
=2×$\frac{n（1+n）}{2}$-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$
=n（n+1）-n+$\frac{q（1-{q}^{2}）}{1-q}$．
∴${S_n}={n^2}+\frac{{q（{1-{q^n}}）}}{1-q}$．…（10分）

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分组求和法的合理运用．