Question

（2011•武昌区模拟）圆柱型金属饮料罐的容积V一定时，它的高h与底面半径R具有怎样的关系时，才能使所用材料最省？

Answer 1

分析：由题意求出饮料罐的表面积，求出体积，推出表面积与圆柱底面半径的关系式，通过不等式求出面积的最小值．

解答：（本小题满分12分）
解：如图，饮料罐的表面积S=2πRh+2πR²．…（2分）
由V=πR²h，得h=

V

πR2

，则
S=2πR•

V

πR2

+2πR2=

2V

R

+2πR2．（R＞0）…（4分）
所以S=

V

R

+

V

R

+2πR2≥3

3	V R • V R •2πR2

=3

3	2πV2

，
当且仅当

V

R

=2πR2，即R=

3	V 2π

时，S取得最小值．…（10分）
把R=

3	V 2π

代入h=

V

πR2

，得h=2

3	V 2π

，即h=2R．…（11分）
答：当饮料罐的高与底面的直径相等时，所用材料最省． …（12分）

点评：本题是中档题，考查圆柱的表面积与体积的关系，不等式的应用，考查计算能力．