Question

如图所示，点N在圆x²+y²=4上运动，DN⊥x轴，点M在DN的延长线上，且（λ＞0），
（1）求点M的轨迹方程，并求当λ为何值时M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）当λ=时，（1）所得曲线记为C，已知直线l：+y=1，P是l上的动点，射线OP（O为坐标原点）交曲线C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|²，求点Q的轨迹方程。

Answer 1

解：（1）设，
由，
∴，
把代入圆的方程得，
化简得，
当0＜λ＜1时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）当时，（1）所得曲线C为，
设，
∵P在l上、R在椭圆上，
∴， ①
， ②
设，
由比例性质得，
∴，
代入①得，，③
，
∴，
∴，
代入②得，，④
由③④联立得，
又t≠0，
∴，原点除外，
化简得点Q的轨迹方程为（原点除外）
（也可配方为）。