Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且数列的前n项和S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想数列{a_n}（3）的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1=

n

n+2

an
∴a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

，a5=

1

15

，
（2）猜测an=

2

n(n+1)

；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=

2

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1=

k

k+2

ak=

k

k+2

×

2

k(k+1)

=

2

(k+1)(k+2)

故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

2

n(n+1)