题目内容

己知函数 $数学公式$ ，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令 $数学公式$ ．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

解：（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当x₁＜x₂时， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0．又 $\text{[math]}$ +1＞0， $\text{[math]}$ +1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵ $\text{[math]}$ ，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．
分析：（Ⅰ）先对函数作适当变形，再利用定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与零比较，由定义得到结论．
（Ⅱ）利用有界法求解，将函数看作方程，解得 $\text{[math]}$ ，再由2^x＞0，解得y的范围，即为所求．
（Ⅲ）求出函数g（x）的定义域，利用函数奇偶性的定义加以判断即可得到结论．
点评：本题主要考查函数奇偶性、值域的求法和单调性的证明，值域常见方法有单调性法，基本函数法，有界性法，判别式法等，证明单调性一般有定义法，导数法，考查运算能力以及分析问题解决问题的能力．属中档题．