Question

（2012•保定一模）已知函数f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²．
（1）求函数g（x）在R上的解析式；
（2）若函数h（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]在〔0，+∞）上是增函数，且λ≤0，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，当x∈（-∞，0]g（x）=2x，而当x≥0，则-x≤0，g（x）=-g（-x）=2x，，从而可求g（x）
（2）由题意可得，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

分类 讨论：①λ=0时，②当λ＜0时，结合导数的符号可判断λ的取值范围

解答：解：（1）∵当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²，f（x）=x²-2x，
∴当x∈（-∞，0]，g（x）=2x  （2分）
设x≥0，则-x≤0
∴g（-x）=-2x
∵g（x）是R上的奇函数
∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴g（x）=2x  （5分）
（2）∵h（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]
∴h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

  （6分）
①λ=0时，h′(x)=4x+

2

3

≥

2

3

，所以函数h（x）在[0，+∞）上是增函数，满足题意  （7分）
②当λ＜0时，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

的对称轴x=

2λ+2

3λ

，在y轴上的截距为

2

3

所以（i）若

λ+1

λ

≥0即-1＜λ＜0时，函数h（x）在〔0，+∞）上是增函数，（9分）
（ii）若

λ+1

λ

≥0即λ≤-1时，

-8λ-16(λ+1)2

-12λ

=

2(2λ2+5λ+2)

3λ

≥0
即2λ²+5λ+2≤0
∴-2≤λ≤-1，
综上可得，-2≤λ≤0时，结论成立   （12分）

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．