Question

底面边长为a正四棱锥S-ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，则球O的表面积为

2πa²

；A、B的球面距离为

2

4

aπ

．

Answer 1

分析：由题意可知正四棱锥的底面对角线就是球的直径，求出底面对角线长，即可求出球的半径，然后求出球的表面积．直接求扇形OAB的弧长，就是A、B两点间的球面距离．

解答：解：根据正四棱锥S-ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，
可知正四棱锥S-ABCD的底面对角线AC经过球心，对角线长等于球的直径，
∵棱锥的底面边长为a，
∴底面对角线长为：

2

a，球的半径为：

2

2

a，
∴球的表面积为：4π(

2 a

2

)2=2πa²，
由题意可知A、B两点间的球面距离：就是扇形OAB的劣弧的长，
且球心角∠AOB=

π

2

，
∴A、B两点间的球面距离：

2

2

a×

π

2

=

2

4

aπ．
故答案为：2πa²．

2

4

aπ

点评：本题考查球的内接多面体，球的表面积，球面距离、球面距离及相关计算，考查空间想象力，是基础题．本题的突破口在正确处理截面图形，明确球的直径就是棱锥的底面对角线．