题目内容

已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1-x2）=
f(x1)f(x2)
，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）=
 
．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）
分析：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），说明函数在R上是减函数．f（x1-x2）=
f(x1)
f(x2)
，根据指数幂的运算，得函数是指数函数，找同时满足两个条件的函数即可．
解答：解：∵对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．
∵f（x1-x2）=
f(x1)
f(x2)
∴f（x）是指数函数．同时满足以上两个条件的函数比如：f（x）=(
1
2
)x
验证：f（x1-x2）=(
1
2
)x1-x2=
(
1
2
)x1
(
1
2
)x2
=
f(x1)
f(x2)

故答案为：(
1
2
)x（底数为0至1之间的任意一指数函数均可）
点评：本题考查了指数幂的运算及指数函数的性质．
练习册系列答案
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已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．
已知函数f（x） 满足f（x+4）=x3+2，则f-1（1）等于（　　）
已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
（3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．
（2012•珠海二模）已知函数f（x）满足：当x≥1时，f（x）=f（x-1）；当x＜1时，f（x）=2x，则f（log27）=（　　）

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