Question

已知数列{a_n}中,a₂=a+2(a为常数),S_n是{a_n}的前n项和,且S_n是na_n与na的等差中项,

(1)求a₁,a₃;

(2)猜想a_n的表达式,并用数学归纳法加以证明;

(3)求证:以(a_n,)为坐标的点P_n(n=1,2,…)都落在同一直线上.

Answer 1

(1)解:由已知得S_n=×n,?

当n=1时,S₁=a₁,?

∴2a₁=a₁+a.?

∴a₁=a.?

当n=3时,S₃=a₁+a₂+a₃,?

∴2(a₁+a₂+a₃)=3(a₃+a).?

∴2(a+a+2+a₃)=3(a₃+a).?

∴a₃=a+4.

(2)解：由a₁=a,a₂=a+2,a₃=a+4,…,猜想a_n=a+2(n-1),

证明:①当n=1时,左边=a₁=a,右边=a+2(1-1)=a,

∴当n=1时,等式成立.当n=2时,左边=a₂=a+2,?

右边=a+2(2-1)=a+2,?

∴当n=2时,等式成立.?

②假设n=k(k∈N^*,k≥2)时,等式成立,即a_k=a+2(k-1)?,?

则当n=k+1时,a_k+1=S_k+1-S_k=(k+1)-k,?

∴2a_k+1=(a_k+1+a)(k+1)-(a_k+a)k.?

∴(k-1)a_k+1=ka_k-a.?

∵k≥2,?

∴a_k+1=a_k-.?

将a_k=a+2(k-1)代入,得?

a_k+1=［a+2(k-1)］-

==a+2［(k+1)-1］.?

∴当n=k+1时,等式也成立.由①②可知,对任何正整数n,等式a_n=a+2(n-1)都成立.

(3)证明:当n≥2时,a_n=a+2(n-1),?

∴S_n=×n=×n=(a+n-1)n.?

∴=a+n-1.?

∴(-1)-(-1)=n-1.?

又a_n-a₁=2(n-1),?

∴.

∴点P_n(n=1,2,3,…)都落在同一直线上.

温馨提示

用递推公式求出数列的前几项并归纳猜想其通项公式或猜想相关结论，再用数学归纳法证明之,这是数学归纳法的重要应用.