题目内容
已知函数f（x）=sin（x+
）+cos（x-
），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=
，cos（β+α）=-
.0＜α＜β
，求证：[f（β）]2-2=0．
【答案】分析：（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．
（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+
）+cos（x-
）=sin（x-
）+sin（x-
）=2sin（x-
）
∴T=2π，最小值为-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=
，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-
，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β
，
∴β=
∴[f（β）]2-2=4
-2=0
点评：本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．
（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+
）+cos（x-
）=sin（x-
）+sin（x-
）=2sin（x-
）∴T=2π，最小值为-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=
，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-
，两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β
，∴β=
∴[f（β）]2-2=4
-2=0点评：本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．
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