Question

（本小题满分12分）已知函数，其中a，b∈R，e＝2．718 28 为自然对数的底数.

（1）设是函数的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）＝0，函数在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当时，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

当<a<时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

当a≥时g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b．；

（2）（e－2，1）

【解析】

试题分析：（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b．

所以g′（x）＝ex－2a．

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b； 3分

当<a<时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），所以函数g（x）在区间[0,ln2a]上单调递减，在区间（ln2a,1]上单调递增，于是g（x）在[0,1]上的最小值是

综上所述，当时，g（x）在[0,1]上的最小值是g（0）＝1－b;

当<a<时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b；

当a≥时g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e－2a－b． 6分

（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，

则由f（0）＝f（x0）＝0可知，f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．

故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．

由（1）知，当a≤时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点；

当a≥时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点，都不合题意．

所以<a<．

此时g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g（1）＝e－2a－b>0．

由f（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

则g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0，

解得e－2<a<1．

当e－2<a<1时，g（x）在区间[0，1]内有最小值g（ln（2a））． 9分

若g（ln（2a））≥0，则g（x）≥0（x∈[0，1]），

从而f（x）在区间[0，1]内单调递增，这与f（0）＝f（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0．

又g（0）＝a－e＋2>0，g（1）＝1－a>0．

故此时g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）内各只有一个零点x1和x2．

由此可知f（x）在[0，x1]上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在[x2，1]上单调递增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）<f（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）内有零点．

综上可知，a的取值范围是（e－2，1）．

故g（x）≤0，即f（x）≤2x－2． 12分

考点：本题考查用导函数求最值和判断单调性

点评：解决本题关键是求导求出单调性，找到最值，得到函数的性质，找到零点