Question

函数y=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

（a∈R），设t=

1+x

+

1-x

（

2

≤t≤2）．
（1）试把y表示成关于t的函数m（t）；
（2）记函数m（t）的最大值为g（a），求g（a）；
（3）当a≥-

2

时，试求满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a的值．

Answer 1

分析：（1）用t表示y，即y是关于t的函数m（t）；
（2）求a为参数时函数m（t）=

1

2

at2+t-a在t∈[

2

，2]上的最大值；
（3）分段讨论当a≥-

2

时，对应

1

a

的取值范围，计算满足g(a)=g(

1

a

)的实数a的值．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，
∴t²=2+2

1-x2

，∴

1-x2

=

1

2

t2-1；
∴y=m（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）∵a≠0时直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴，
∴可分以下几种情况进行讨论：
①当a＞0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
②当a=0时，m（t）=t，t∈[

2

，2]，有g（a）=2； 
③当a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

2

时，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

2

，-

1

2

]时，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=

a+2   (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a ， (- 2 2 ＜a≤- 1 2 ) 2   (a≤- 2 2 )

．
（3）①当-

2

≤a≤-

2

2

时，-

2

≤

1

a

≤-

2

2

，此时g（a）=g（

1

a

）=

2

，∴-

2

≤a≤-

2

2

；
②当-

2

2

＜a≤-

1

2

时，-2≤

1

a

＜-

2

，此时g（a）=-a-

1

2a

，g（

1

a

）=

2

，
由-a-

1

2a

=

2

得a=-

2

2

，与a＞-

2

2

矛盾，舍去；
③当-

1

2

＜a＜0时，

1

a

＜-2，此时g（a）=a+2，g（

1

a

）=

2

，
由a+2=

2

得a=

2

-2，与a＞-

1

2

矛盾，舍去； 
④当a＞0时，

1

a

＞0，此时g（a）=a+2，g（

1

a

）=

1

a

+2，
由a+2=

1

a

+2得a=±1，又∵a＞0，∴a=1；
综上所述，满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a为：-

2

≤a≤-

2

2

或a=1．

点评：本题考查了函数及其性质的综合应用，用分类讨论法求函数最值的知识，是容易出错的题目．