Question

在△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c．虚数x=2+ai是实系数方程x²-cx+8=0的根．
（1）求边长a，c．
（2）若边长a，b，c成等比数列，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）易得x₁=2+a与x₂=2-a是实系数方程x²-cx+8=0的两个根，由韦达定理可得答案；
（2）由等比数列易得b值，进而由余弦定理可得cosB，sinB，代入面积公式即可．

解答：解：（1）由题意可得虚数x₁=2+a与x₂=2-a是实系数方程x²-cx+8=0的两个根．----------（2分）
由根与系数的关系可得

x1+x2=4=c x1•x2=4+a2=8

-------------------------------------------------------------------（4分）
解得

a=2 c=4

--------------------------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵边长a，b，c成等比数列，∴b²=ac，解得b=2

2

----------------（7分）
根据余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

22+42-(2 2 )2

2×2×4

=

3

4

---------------------------------------（9分）
由同角三角函数的基本关系可得sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

---------------------------------------------------------------------------（10分）
所以S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×4×

7

4

=

7

---------------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查实系数的一元二次方程的根，涉及复数的运算和等比数列的性质，以及三角函数的运算，属基础题．