Question

（本大题满分12分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）同解析
（Ⅲ）当时， 是单调递减函数；当时， 是单调递增函数；当时，函数在内取得极小值，极小值为

证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。
（Ⅲ）当时，，
令，得；
当时，，∴是单调递减函数；
当时，，∴是单调递增函数；
所以当时，函数在内取得极小值，极小值为