Question

【题目】已知定圆：，动圆过点 且与圆相切，记圆心的轨迹为．

(1)求曲线的方程；

(2)已知直线 交圆于两点.是曲线上两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根据动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；

（2）由题可知，，因圆心坐标在直线 上，则直径，将问题转化为求的最大值. 根据题意设直线方程为，设, 与椭圆方程联立，整理得关于的一元二次方程，由韦达定理及，结合函数的单调性，由此可以求出四边形面积的最大值.

详解：解：（1）依题意得：，圆的半径，

点 在圆内，圆内切于圆，

，

点的轨迹为椭圆，设其方程为

则，，，

轨迹的方程为：.

（2）点在直线 上，即直线经过圆的圆心，

，故设直线方程为，设,

联立消得，

，且

，

，

四边形的面积，

（当且仅当时取等号），

即四边形面积的最大值为.