Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1= ∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形， 又知D为其底边A1B的中点， ∴CD⊥A1B.  ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=     又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，     ∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.     ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.     因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.      ∴FG=，FG⊥BD.     由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，     所以△BB1D是边长为1的正三角形.    于是B1G⊥BD，B1G=   ∴∠B1GF是所求二面角的平面角，     又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=， ∴  即所求二面角的大小为 解法二：如图，以C为原点建立坐标系. （Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1）， D（，M（，1，0）， 则   ∴CD⊥A1B，CD⊥DM. 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则 G（），、、）， 所以所求的二面角等于